证设X1,X2,…Xn为来自β—分布的独立随机样本,故其结合分布密度为:
n
n
n
∏∏∏f(xi,p,q)
i=1
=
[
B
(
1p,
q)
]
n
(
i
=1
xi)p-1[
i=1
(1-
xi)]q-1
n
n
n
n
∏∏∏∏=
[
B
(
1p,
q)
]
n
(
i
=1
xi)p[
证因X～β(p,q),有
0x0
F(x)=Ix(p,q)0≤x≤1
1x1
∫其中Ix(p,q)=
x0
1B(p,q)
tp-1(1
-
t)q-1dt称之为不完全β—函数.
当p0,q≥1时
事实上,定理1可推广为:向线段[0,1]上独登时连投n个随机点,假设每个点都服从U[0,1],则左
起第k(k=1,2,…,n)个落点的概率分布为β(k,n-k+1).
定理2若X～β(p,q),且p,q皆为正整数,则X～B(p+q+1,x),且x取值于p～p+q-1.
贝塔分布的有关性质及应用探讨
徐传胜
(临沂师范学院数学系,山东临沂)
摘要:讨论了贝塔分布的部分性质,并对其应用进行了探讨.关键词:贝塔分布;分布函数;密度函数中图分类号:O221.3文献标识码:A文章编号:1009-6051(2001)04-0006-03
第4期
徐传胜:贝塔分布的有关性质及应用探讨
7
在上式中,当p,q皆为正整数时
Γ(p+q)Γ(i+1)Γ(p+q-
i)
=
Cip+q-1
p+q-1
∑则Ix(p,q)=
Cip+q-1
xi
(1
-
x)p+q-1-i,易知上式为-
n=
定义1设随机变量X的密度函数为
φ(x)=
B
(
1p,q)
xp-1
(1
-
x)q-10≤x
≤1
0其它
∫1
其中B(p,q)=xp-1(1-x)q-1dx(p0,q0),则称X服从Beta分布.简记X～β(p,q)
,
n2
)
.
证
不妨设
F—分布的密度函数为
h(x)
,在
T
=
(
mn
F)
Π(1
+
mn
F)
中求关于
F的导数,
T′F=
(
mn
)
Π(1
+
mn
F)
2
0,因此
T
=
g(F)严格单调上升,其反变换为
F(T)
=
n·T且m1-T
F′(T)
=
nm
·(1
1-
T)2
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
+
1-x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
∫∫=
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
-
x1
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
∫∫∫=
10
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
+
x0
tp-
1(1B(
xi)]-1
n
n
n
n
∏∏∏∏故当p,q均未知时,其充分完备统计量为[ln(xi),ln(1-xi)]也即[xi,ln(1-xi)]
i=1
i=1
i=1
i=1
n
n
∏∏同理,当p已知,q未知时的充分完备统计量为ln[(1-xi)]即(1-xi);
i=1
(1
-
xi)]q(xi)-1[(1-
i=1
i=1
xi)]-1
n
∏=
[
B
(
1p,
q)
]
n
exp[
pln(
i
=1
xi)
故β—分布为一指数族分布.
n
∏+qln((1i=1
n
n
∏∏xi)](xi)-1[(1-
i=1
i=1
例2一条干净的河流中,在给定的地点,溶解在水中的氧气达到饱和的部分,服从β(3,2).
例3一批商品在销售过程中,相对跌价也服从β—分布.
例4试证β—分布为指数族分布,并求出在下列情况下的充分完备统计量.
(1)p,q皆未知;(2)p已知,q未知;(3)p未知,q已知.
,
12
)
=
22Γ(1)
=π,所以
φ(x)=
x-
12
(1
-
x)
-
12
B(
12
,
12
)
0
≤x
≤ຫໍສະໝຸດ=
0其它
π
1
0≤x≤1
x(1-x)
0其它
定理4设
F(m,
0
β(p,q)与一些常见的分布有着密切的接洽.
定理1设X～U[0,1],抽取一容量为2n+1的样本,则其中位数X(n+1)～β(n+1,n+1).
证因X～U[0,1],所以
F(x)=
0x0x0≤x1p(x)=1x≥1
p
,
t)q)
q-
1
d
t
-
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
=
1.
所以FX(x)+FY(y)=1.β—分布是概率论与数理统计中最常见的分布之一.现列举几个日常生活中β—分布的应用实例.
例1心理学家认为:一个正常人,在整个睡眠时间中“,异相”睡眠所占的比例服从β(12,48).
0y0
1x0
又有FY(y)=IY(q,p)0≤y≤1=I1-X(q,p)0≤1-x≤1
1y1
0x1
∫∫又IY(p,q)+I1-X(q,p)=
x0
10≤x≤10其它
而样本中位数的概率密度为
f(x)
=
(2nn
+1)!n!
![
F(x)
]n[1
-
F(x)]np(x)
=
B
(
n
+
11,n
+
1)
xn
(1
-
x)n0
≤x
≤1
0
其它
因B(1,1)=1,故当p=q=1时,β(1,1)即为U[0,1].
∫Ix(p,q)=
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
=
Γ(p+q)Γ(p+1)Γ(q)
·xp(1
-
x)q-1+Ix(p+1,q-1)
=
Γ(p+q)Γ(p+1)Γ(q)
·xp(1
-
x)
q-1
+
Γ(
Γ(pp+2)
若X～β(p,q),随机变量1-X的分布与随机变量X的分布有着微妙的接洽.
定理6若X～β(p,q)分布,则FX(x)+FY(y)=1,且Y～β(q,p).其中Y=1-X.
证
因fX(x)=
B
(
1p,q)
贝塔分布的有关性质及应用探讨贝塔分布贝塔分布函数三角分布贝塔分布舒克和贝塔贝塔男舒克和贝塔动画片全集舒克贝塔阿尔贝塔齐贝塔系数
第23卷第4期Vol.23No.4
临沂师范学院学报of’
2001年8月Aug.2001
p+q-1,p=
x且取值于p～p+q-1
i=p
间的二项分布的分布函数.
近似地可以导出β(p,q)与负二项分布间的关联.
定理3若X～β(p,q),则p=
q=
12
时为反正弦分布.
Γ(1)Γ(1)
证令p=
q=
12
,因
B
(
12
i=1
X2i
服从β(
m2
,
n2
)
.
m
n+m
∑∑分析:因Xi～N(0,σ2),i=1,2,…,n+m,Yi=XiΠσ～N(0,1),而
Y2i～X2(m),
～Y2i
X2(n+m)
,
i=1
i=1
进而可推得结论.限于篇幅,不再证明.
ontheofBetaand
XU
(Dept.ofMath.,’,,)
:Inthis,theofBetaandare.Key:Beta;;
(
m
2
+n2
2)!(n
2)!
2
2)
·Tm2-1!
·(1
-
T)
n2
-
1
0
T1=
B(
1
m2
,
n2
)
·Tm2-1
·(1
-
T)
n2
-
1
0
T1
0
其它
0
其它
m
n+m
∑∑定理5若
X1
,X2
,…,Xn+m
独立同分布于N(0,σ2)
,则
i=1
X2iΠ
(0
T1),由此得T的密度函数
f(T)
=
h
[
m
nT(1-
T)
]
·F′(T)
=
(m
+n2
-
2)
!
(
m
2
2)
!(
n
2
2)
(!
mn
)
m2
[
m
nT(1-
T)
]m2
-
1
(1+
1m·n
T
m+n
)2
·n
m
·(1
1-T)2